پاورپوینت کامل و جامع با عنوان مشتق و کاربردهای آن در 120 اسلاید

مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاطاکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستین لویی کوشی، برنارد ریمان و برادران برنولی، یعنی ژاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال (به فرانسوی: Guillaume de lHôpital)، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.

فهرست مطالب:

تعریف مشتق

نمو تابع

نماد لایبنیتز

محاسبه مشتق توابع با استفاده از تعریف

تعبیر هندسی مشتق

قضیه

خط مماس

خط قائم

مشتق تابع مرکب

قانون زنجیری

جبر مشتقات

مشتق خارج قسمت

مشتقات توابع معکوس

مشتقات مراتب بالاتر

مشتق مرتبه nام

مشتق توابع مثلثاتی

تعبیر هندسی نسبت‌های مثلثاتی

دایره مثلثاتی

علامت توابع مثلثاتی در ناحیه‌های مختلف

قضیه

توابع مثلثاتی و معکوس آنها

تابع متناوب

تابع سینوس و معکوس آن

تابع کسینوس و معکوس آن

تابع تانژانت و معکوس آن

تابع کوتانژانت و معکوس آن

مشتق توابع معکوس مثلثاتی

توابع نمایی، لگاریتمی و مشتق آنها

لگاریتم طبیعی

اهم فرمول‌های لگاریتم

کاربرد توابع نمایی در اقتصاد و بازرگانی

توابع هذلولی و مشتق آن‌ها

روابط بین توابع مثلثاتی هذلولی

توابع معکوس هذلولی و مشتق آنها

دیفرانسیل

دیفرانسیل تابع مرکب

جبر دیفرانسیل ها

دیفرانسیل مرتبه nام

محاسبات تقریبی به کمک دیفرانسیل

کاربردهای مشتق

جهت تغییرات تابع

ماکزیمم و مینیمم یک تابع

شرط لازم ماکزیمم و مینیمم نسبی

قضیه رول

تعبیر هندسی قضیه رول

قضیه مقدار میانگین برای مشتق

تحدب و تقعر یک منحنی و نقطه عطف

و...